题目内容
设0＜b＜a＜
，求证：
＜
＜
．
| π |
| 2 |
| sina |
| sinb |
| a |
| b |
| tana |
| tanb |
考点：利用导数研究函数的单调性,不等式的基本性质
专题：导数的综合应用
分析：令f（x）=tanx-x，x∈(0，
)．利用导数研究其单调性可得函数f（x）在x∈(0，
)上单调递增，即tanx＞x．同理可证：sinx＜x，x∈(0，
)．再令g（x）=
，x∈(0，
)．利用导数研究其单调性可得函数函数g（x）在x∈(0，
)上单调递增，同理可证：函数y=
在x∈(0，
)上单调递减．即可证明．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| tanx |
| x |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
解答：
证明：令f（x）=tanx-x，x∈(0，
)．
则f′（x）=
-1＞0，∴函数f（x）在x∈(0，
)上单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0，即tanx＞x．
同理可证：sinx＜x，x∈(0，
)．
再令g（x）=
，x∈(0，
)．
则g′(x)=
=
＞
＞0，
∴函数g（x）在x∈(0，
)上单调递增，
同理可证：函数y=
在x∈(0，
)上单调递减．
∵0＜b＜a＜
，
∴
＜
，
＜
，
∴
＜
＜
．
| π |
| 2 |
则f′（x）=
| 1 |
| cos2x |
| π |
| 2 |
∴f（x）＞f（0）=0，即tanx＞x．
同理可证：sinx＜x，x∈(0，
| π |
| 2 |
再令g（x）=
| tanx |
| x |
| π |
| 2 |
则g′(x)=
| ||
| x2 |
| x-sinxcosx |
| x2 |
| x-sinx |
| x2 |
∴函数g（x）在x∈(0，
| π |
| 2 |
同理可证：函数y=
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
∵0＜b＜a＜
| π |
| 2 |
∴
| sina |
| a |
| sinb |
| b |
| tanb |
| b |
| tana |
| a |
∴
| sina |
| sinb |
| a |
| b |
| tana |
| tanb |
点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究其单调性证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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