Question

已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）．
（1）当f（1）=3时，求f（2015）的值；
（2）求证：函数f（x）的图象关于直线x=2对称；
（3）若f（x）满足在区间[0，2]上是增函数的条件，且f（2）=1，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知可f（x）是以8为周期的周期函数，故f（2015）=f（-1）=-f（1）=-3；
（2）设P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，则y₀=f（x₀），P点关于x=2的对称点为Q（4-x₀，y₀），结合已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），结合（1）中函数的周期为8，可得f（4-x₀）=y₀，即Q在函数y=f（x）图象上，则y=f（x）的图象关于直线x=2对称．
（3）由奇函数满足f（0）=0，结合f（x）在区间[0，2]上是增函数，f（2）=1，可得故f（x）在区间[0，2]上值域为[0，1]，结合奇偶性f（x）在区间[-2，2]上值域为[-1，1]，结合对称性而f（x）在区间[2，6]上值域为[-1，1]，结合周期性可得函数f（x）的值域为[-1，1]．

解答： 解：（1）∵f（x-4）=-f（x）．
∴f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x）．
函数f（x）是以8为周期的周期函数，
又∵2015÷8=251…7
故f（2015）=f（-1），
又∵奇函数f（x）满足f（1）=3，
∴f（2015）=-3；
证明：（2）设P（x₀，y₀）是函数y=f（x）图象上任意一点，则y₀=f（x₀），
又P点关于x=2的对称点为Q（4-x₀，y₀），
由已知f（x-4）=-f（x）．
可得，f（4-x₀）=f（（8-x₀）-4）=-f（8-x₀）=f（x₀-8）=y₀，
即Q在函数y=f（x）图象上，
则y=f（x）的图象关于直线x=2对称．
解：（3）∵f（x）在区间[0，2]上是增函数，
f（2）=1，f（0）=0，
故f（x）在区间[0，2]上值域为[0，1]，
故f（x）在区间[-2，0]上是增函数，值域为[-1，0]，
故f（x）在区间[-2，2]上值域为[-1，1]，
又由（2）得y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
故f（x）在区间[2，6]上值域为[-1，1]，
又由f（x）是以8为周期的周期函数，
故函数f（x）的值域为[-1，1]．

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的对称性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．