Question

3．若不等式ax²+5x-2＞0的解集是$\left\{{\left.x\right|\frac{2}{3}＜x＜1}\right\}$，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-5x-1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系可得$\frac{2}{3}$1为方程ax²+5x-2=0的两根然后根据韦达定理求出a的值即可；
（2）将a=-3代入不等式，求出对应方程的根，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵不等式ax²+5x-2＞0的解集为{x|$\frac{2}{3}$＜x＜1}，
∴$\frac{2}{3}$，1为方程ax²+5x-2=0的两根，
∴根据韦达定理可得
∴$\frac{2}{3}$×1=-$\frac{2}{a}$，∴a=-3；
（2）由（1）得：-3x²-5x-1＞0，
故3x²+5x+1＜0，
△=25-12=13＞0，
x=$\frac{-5±\sqrt{13}}{6}$，
故不等式的解集是：{x|$\frac{-5-\sqrt{13}}{6}$＜x＜$\frac{-5+\sqrt{13}}{6}$}．

点评 本题考查了不等式的解法，考查韦达定理，是一道基础题．