Question

已知0＜α＜β＜π，且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两根，试求：
（Ⅰ）α+β的值；
（Ⅱ）tan(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：①解方程可得tanα、tanβ的值，代入两角和的正切公式计算可得其值，结合角的范围可得；
②代入两角差的正切公式计算可得．

解答： 解：①∵tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的两根，
解方程可得两根为2和3，
即tanα=2，tanβ=3，或tanα=3，tanβ=2，
∴α、β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，π），
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1，
又可得α、β∈（0，

π

2

），α+β∈（0，π），
∴α+β=

3π

4

；
②当tanα=2，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，
tan（2α+

π

4

）=

tan2α+1

1-tan2α

=-

1

7

；
当tanα=3，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

3

4

时，
tan（2α+

π

4

）=

tan2α+1

1-tan2α

=

1

7

；

点评：本题考查两角和与差的正切函数公式，涉及一元二次方程和分类讨论的思想，属中档题．