Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，
|AF₁|=3|BF₁|，且|AB|=4，△ABF₂的周长为16
（1）求|AF₂|；
（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用|AF₁|=3|BF₁|，且|AB|=4，求出：|AF₁|=3，|F₁B|=1，根据△ABF₂的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF₂|；
（2）若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF₁|=3|BF₁|知y₁=-3y₂，即可求椭圆E的方程．

解答： 解：（1）由|AF₁|=3|F₁B|，|AB|=4，得：|AF₁|=3，|F₁B|=1…1分
因为△ABF₂的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF₁|+|AF₂|=2a=8…3分
故|AF₂|=2a-|AF₁|=8-3=5…4分
（2）由（1）可设椭圆方程为

x2

16

+

y2

b2

=1，F₁（-c，0），其中c=

16-b2

设直线AB的方程为y=x+c，即x=y-c，…5分
代入椭圆方程得：b²（y-c）²+16y²=16b²…6分
整理得：（b²+16）y²-2b²cy-b⁴=0…8分
△=4b⁴c²+4b⁴（b²+16）=128b⁴
y₁=

2b2c+8 2 b2

2(b2+16)

，y₂=

2b2c-8 2 b2

2(b2+16)

…10分
由|AF₁|=3|BF₁|知y₁=-3y₂，
得2b2c+8b2

2

=-3(2b2c-8b2

2

)…12分
又由于c=

16-b2

解得c=2

2

，b²=8
所以椭圆的方程为

x2

16

+

y2

8

=1…14分

点评：本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．