Question

（文）已知函数f（x）是定义在R上且满足f（x）+f（-x）=0，f（x）+f（x+

3

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）=0，且x∈（-

3

2

，0）时，f（x）=log 

1

2

（1-x），则f（2010）+f（2011）=（　　）

• A、1
• B、2
• C、-1
• D、-2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）+f（-x）=0知，该函数是奇函数，所以f（0）=0，由f（x）+f（x+

3

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）=0，则f（x）是周期为3的函数，则f（2010）=f（3×670）=f（0）=0；而f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=-f（-1），代入已知的解析式，问题获解．

解答： 解：函数f（x）的定义为R，
又f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0；
因为f（x）+f（x+

3

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）=0，所以f（x+

3

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）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+

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）=f（x），∴该函数最小正周期T=3，
∴f（2010）=f（3×670）=f（0）=0，f（2011）=f（3×670+1）=f（1）=-f（-1），
又x∈（-

3

2

，0）时，f（x）=log 

1

2

（1-x），
f（-1）=-1，
∴f（2011）=1．
故选：A

点评：解决本题，要记住一些常见的体现函数奇偶性、周期性的结论，例如本题；同时，这道题重点考查了学生利用转化思想解题的能力，即利用奇偶性、周期性将所求化归到已知上来的能力．