Question

已知f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

+1．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象对称中心的坐标和对称轴的方程；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）要求函数f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

+1的最小正周期及其图象对称中心的坐标和对称轴的方程，首先通过三角函数式的恒等变换把它转换成正弦型解析式，然后利用T=

2π

ω

求出最小正周期，进一步利用整体思想求出图象对称中心的坐标和对称轴的方程．
（2）根据（1）所求的解析式，然后依据已知定义域求函数解析式的值域

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-

3

cos²x+

3

2

+1=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+1=sin（2x-

π

3

）+1
函数f（x）的最小正周期：T=

2π

2

=π
令2x-

π

3

=kπ 解得x=

kπ

2

+

π

6

 （k∈Z）
∴函数f（x）图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
令2x-

π

3

=kπ+

π

2

  解得x=

kπ

2

+

5π

12

  （k∈Z）
∴函数f（x）的对称轴的方程为：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）由（1）知函数的解析式为：
f（x）=sin（2x-

π

3

）+1
∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1
∴函数f（x）的值域为[1-

3

2

，2]
故（1）答案为：
函数f（x）的最小正周期为π
函数f（x）图象的对称中心为（

kπ

2

+

π

6

，1）（k∈Z）
函数f（x）的对称轴的方程为：x=

kπ

2

+

5π

12

 （k∈Z）
（2）函数f（x）的值域为[1-

3

2

，2]

点评：本题重点考查的知识点：三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，正弦型函数的对称轴方程及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型．