Question

已知椭圆x²+

y2

4

=1的左、右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2

5

的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设P，T两点的横坐标分别为x₁，x₂，求证：x₁•x₂为定值；
（Ⅲ）设△TAB与△POB（其中o为坐标原点）的面积分别为s₁与s₂，且

PA

•

PB

≤15，求s₁²-s₂²的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由椭圆性质求出A（-1，0），B（1，0）．由题意知双曲线的焦距2c=2

5

，实半轴a=1，由此能求出双曲线C的方程．
（Ⅱ）设点P（x₁，y₁），T（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入x2+

y2

4

=1，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，由此能证明为x₁•x₂为定值．
（Ⅲ）由已知条件推导出

x

2 1

+

y

2 1

≤16，

x

2 1

≤4，从而得到1＜x₁≤2，由此能求出

s

2 1

-

s

2 2

的取值范围为[0，1]．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆x²+

y2

4

=1的左、右两个顶点分别为A，B，
∴A（-1，0），B（1，0）．
∵曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2

5

的双曲线，
∴双曲线的焦距2c=2

5

，实半轴a=1，
∴c=

5

，b2=c2-a2=4．
∴双曲线C的方程为x2-

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：设点P（x₁，y₁），T（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），
代入x2+

y2

4

=1，
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

，
所以x2=

4-k2

4+k2

．
同理将直线方程代入x2-

y2

4

=1，解得x1=

4+k2

4-k2

．
∴x1•x2=

4+k2

4-k2

•

4-k2

4+k2

=1为定值．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，

PA

=(-1-x1，-y1)，

PB

=(1-x1，-y1)，
又

PA

•

PB

≤15，
∴(-1-x1)(1-x1)+

y

2 1

≤15，即

x

2 1

+

y

2 1

≤16，
∵点P在双曲线上，则

x

2 1

-

y 2 1

4

=1，
∴

x

2 1

+4

x

2 1

-4≤16，即

x

2 1

≤4，
又点P是双曲线在第一象限内的点，∴1＜x₁≤2，
∵s1=

1

2

|AB||y2|=|y2|，s2=

1

2

|OB||y1|=

1

2

|y1|，
所以.

s

2 1

-

s

2 2

=

y

2 2

-

1

4

y

2 1

=(4-4

x

2 2

)-(

x

2 1

-1)=5-

x

2 1

-4

x

2 2

由（Ⅱ）知x₁•x₂=1，即，x2=

1

x1

，
设t=

x

2 1

，则1＜t≤4，
∴

s

2 1

-

s

2 2

=5-t-

4

t

，
∵t+

4

t

在（1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴当t=4，即x₁=2时，(

s

2 1

-

s

2 2

)min=0．
当t=2，即x1=

2

.(

s

2 1

-

s

2 2

)max=1
∴

s

2 1

-

s

2 2

的取值范围为[0，1]．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查两数乘积为定值的证明，考查两三角形面积的平方差的取值范围的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．