题目内容
已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2+b2=ab+3，C=60°．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求a+b的取值范围．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求a+b的取值范围．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件利用余弦定理求得 c2=a2+b2-2ab•cosC的值，从而求得的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c2=3=（a+b）2-3ab，利用基本不等式求得a+b的最大值；再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=
，综合可得a+b的范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c2=3=（a+b）2-3ab，利用基本不等式求得a+b的最大值；再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=
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解答：
解：（Ⅰ）△ABC中，∵a2+b2=ab+3，C=60°，∴c2=a2+b2-2ab•cosC=a2+b2-ab=3，∴c=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c2=a2+b2-ab=3=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-3×(
)2，∴（a+b）2≤12，a+b≤2
，当且仅当a=b时，取等号．
再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=
，
故要求的a+b的范围为（
，2
]．
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（Ⅱ）由（Ⅰ）可得c2=a2+b2-ab=3=（a+b）2-3ab≥（a+b）2-3×(
| a+b |
| 2 |
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再由三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c=
| 3 |
故要求的a+b的范围为（
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点评：本题主要考查余弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．
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