Question

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≠5且n∈N^*）和5个白球，红球编号为1，2…n．白球编号为1，2，…5，每次从中任取两个球，当两个球颜色不同时，则规定为中奖．
（1）若一次取球中奖的概率p，试求p的最大值及相应的n值；
（2）若一次取球中奖，且p取最大值，设取出的红球编号为a，白球编号为b；记随机变量X=|a-b|，求X的分布列、期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）利用等可能事件概率公式，求出一次取球中奖的概率，利用基本不等式求p的最大值及相应的n值；
（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量X的分布列及数学期望．

解答： 解：（1）每次从n+5个球中任取两个，有

C

2 n+5

种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有

C

1 n

C

1 5

种，所以一次取球中奖的概率为P=

C 1 n C 1 5

C 2 n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

，n≠5且n∈N^*．
即p=

10

n+ 20 n +9

≤

10

18

=

5

9

，当n=4或n=5时取等号，而n≠5
故p的最大值等于

5

9

及相应的n的值为4．…（6分）
（2）由（1）知：袋中有红球4个，白球5个，
∴a=1，2，3，4，b=1，2，3，4，5
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4
P(X=0)=

4

20

=

1

5

；P(X=1)=

7

20

；P(X=2)=

5

20

=

1

4

；P(X=3)=

3

20

； P(X=4)=

1

20

；
故X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
P	1 5	7 20	1 4	3 20	1 20

…（10分）
∴E(X)=0×

1

5

+1×

7

20

+2×

1

4

+3×

3

20

+4×

1

20

=

3

2

．…（12分）

点评：求随机变量的分布列与期望的关键是确定变量的取值，求出随机变量取每一个值的概率值．