Question

已知直线l：y=x-1与⊙O：x²+y²=4相交于A、B两点，过A、B的两条切线相交于点P，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：首先联立方程组

y=x-1 x2+y2=4

解得A(

1+ 7

2

，

7 -1

2

)B(

1- 7

2

，

- 7 -1

2

)，进一步求得直线OA的斜率为k₁=

4- 7

3

，利用直线OA⊥直线AP，求得直线AP的斜率k3=-

4+ 7

3

，同理分别求得直线BO的斜率k2=

4+ 7

3

及BP的斜率k4=

7 -4

3

，进一步求得AP的直线方程：y-

7 -1

2

=-

4+ 7

3

(x-

1+ 7

2

)和直线BP的直线方程：y+

7 +1

2

=

7 -4

3

(x-

1- 7

2

)，最后建立方程组解得P的坐标．

解答： 解：直线l：y=x-1与⊙O：x²+y²=4相交于A、B两点，
则：

y=x-1 x2+y2=4

，
解得：A(

1+ 7

2

，

7 -1

2

)  B(

1- 7

2

，

- 7 -1

2

)，
则：直线OA的斜率为：k₁=

7 -1 2

1+ 7 2

=

4- 7

3

，直线AP的斜率为k₃，
由于k₁k₃=-1，
所以k3=-

4+ 7

3

；
同理：直线OB的斜率为：k2=

4+ 7

3

，直线BP的斜率为k₄，由于k₂k₄=-1，
k4=

7 -4

3

；
直线AP的方程为：y-

7 -1

2

=-

4+ 7

3

(x-

1+ 7

2

)，
直线BP的方程为：y+

7 +1

2

=

7 -4

3

(x-

1- 7

2

)，
联立方程组得：

y- 7 -1 2 =- 4+ 7 3 (x- 1+ 7 2 ) y+ 7 +1 2 = 7 -4 3 (x- 1- 7 2 )

，
解得：

x=4 y=- 20 3

，
即点P（4，-

20

3

）．
故答案为：P（4，-

20

3

）．

点评：本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，用点斜式求直线的方程，直线与圆的位置关系，直线与直线相交的交点求法，及相关的运算问题．