Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），直线l：x=my+c与椭圆C交于两点M、N，且当m=-

3

3

时，M是椭圆C的上顶点，且△MF₁F₂的周长为6．设椭圆C的左顶点为A，直线AM、AN与直线x=4分别相交于点P、Q，当m变化时，以线段PQ为直径的圆被x轴截得的弦长为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先，根据已知条件，确定该椭圆的标准方程，然后，先利用特殊值，探究出弦长，然后，证明成立即可．

解答： 解：根据题意，m=-

3

3

时，M是椭圆C的上顶点，
∴M（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴-

3

3

b+c=0．①
又∵且△MF₁F₂的周长为6．
∴2a+2c=0，②，
由①得 
b=

3

c，
由②得，
a=3-c，
∵a²-b²=c²，
∴c=1
∴a=2，b=

3

，
∴椭圆的标准方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，
当m=0时，直线l的方程为x=1．此时，M，N点的坐标分别是
（1，

3

2

），（1，-

3

2

），
∵又A点坐标是（-2，0），由图可以得到P，Q两点坐标分别是（4，3），（4，-3），
以PQ为直径的圆过右焦点，被x轴截得的弦长为6，
猜测当m变化时，以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，
证明如下：
设点M，N点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴则直线AM的方程是

y

y1

=

x+2

x1+2

，
即得P（4，

6y1

x1+2

），
同理，得（4，

6y2

x2+2

），
联立方程组

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

，整理，得
（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-

-6m

3m2+4

，y₁y₂=

-9

3m2+4

，
∴

F2P

•

F2Q

=（4-1）（4-1）+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

36Y1y2

(my1+3)(my2+3)

=9+

36y1

&

;y2m2y1&;y2+3m(y1+y2)+9
=9+

-9×36

-9m2-18m2+27m2+36

=0，
∴以PQ为直径的圆恒过焦点F₂，被x轴截得的弦长为定值6，



故选：C．

点评：本题重点考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于重点题型，也是常考题型，复习时，要引起足够的重视，注意处理该类问题的方法和技巧．