Question

函数f（x）=

1

a-a-1

（a^x-a^-x）（0＜a＜1），
（1）求证：f（x）为奇函数；   
（2）当x∈（-1，1），解不等式f（1-m）+f（m-2）＜0；
（3）若f（x）-4当且仅当在x∈（-∞，2）上取负值，求a的值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的定义，即可得出结论；
（2）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解：由y=f（x）（x∈R）的奇偶性、单调性，由f（1-m）+f（m-2）＜0可得f（1-m）＜f（2-m），再利用y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．
（3）因为f（x）-4当且仅当在x∈（-∞，2）上取负值，所以f（2）-4=

1

a-a-1

（a²-a^-2）-4=0，整理即可解得a的值．

解答： （1）证明：∵f(-x)=

1

a-a-1

(a-x-ax)=f(x)，x∈R∴f(x)为奇函数；
（2）解：∵0＜a＜1，∴y=a^x-a^-x在（-1，1）上是减函数，
∵

1

a-a-1

＜0，
∴y=f（x）在（-1，1）上是增函数．
∵函数f（x）是奇函数，f（1-m）+f（m-2）＜0，
∴f（1-m）＜f（2-m），
∴1-m＜2-m且-1＜1-m＜1，-1＜2-m＜1，
∴1＜m＜2，
故不等式的解集{m|1＜m＜，2}；
（3）因为f（x）-4当且仅当在x∈（-∞，2）上取负值，
所以f（2）-4=

1

a-a-1

（a²-a^-2）-4=0，
整理得a²-4a+1=0，
因为0＜a＜1，所以a=2-

3

．

点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．