Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（0）=0，且对任意的x∈R都有f（x+9）≥f（x）+9，f（x+3）≤f（x）+3，则f（2013）=

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由已知条件求得f（x+9）=f（x）+9，且f（6）=6，把则f（2013）化为f（223×9+6）=223×9+f（6）得答案．

解答： 解：由f（x+3）≤f（x）+3，得
f（x+6）≤f（x+3）+3，
f（x+9）≤f（x+6）+3，
累加得：f（x+9）≤f（x）+9，
又f（x+9）≥f（x）+9，
∴f（x+9）=f（x）+9，
再由f（x+9）≥f（x）+9，f（x+3）≤f（x）+3，得
f（x+3）=f（x+9）-6，取x=-3，得f（6）=6．
则f（2013）=f（223×9+6）=223×9+f（6）=2013．
故答案为：2013．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键在于变形，是中档题．