Question

如果函数f（x）对任意两个不等实数x₁，x₂，且x₁，x₂∈（a，b）都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂+x₂f（x）₁），则称函数f（x）为区间（a，b）上的“G”函数．给出下列命题：①f（x）=2x-sinx是R上的“G”函数；②f（x）=

x2+4x(x≥0) x-1，x＜0

是R上的“G”函数；③f（x）=

2x(x≥1) 2x+1，x＜1

是R上的“G”函数；④若函数f（x）=e^x-ax-2是R上的“G”函数，则a≤0．其中正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：计算题,推理和证明

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．

解答： 解：∵对于任意给定的不等实数x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等价为（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的增函数．
①f′（x）=2-cosx＞0，∴f（x）=2x-sinx是R上的“G”函数；
②f（x）=

x2+4x(x≥0) x-1，x＜0

是定义在R上的增函数，∴是R上的“G”函数；
③f（x）=

2x(x≥1) 2x+1，x＜1

不是定义在R上的增函数，∴不是R上的“G”函数；
④若函数f（x）=e^x-ax-2是R上的“G”函数，则f′（x）=e^x-a＞0，∴a≤0，正确．
故选：C．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．