Question

20．若椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$的弦被点（2，1）平分，则此弦所在的直线方程是（　　）

• A． x+y-3=0
• B． x+2y-4=0
• C． 2x+13y-14=0
• D． x+2y-8=0

Answer 1

分析 设直线交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程．

解答 解：设直线与椭圆交于点A，B，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=16}\\{{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=16}\end{array}\right.$，
两式相减，得（x₁²-x₂²）+2（y₁²-y₂²）=0，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵点M（2，1）是AB的中点，
∴k_AB=-$\frac{4}{2×2}$=-1，
则所求直线方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，训练了“舍而不求”的解题思想方法，考查直线方程的求法，是中档题．