Question

5．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且|AF|=4．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（8，0）作直线l交抛物线于B，C两点，求证：OB⊥OC．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的定义求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）法一：因为直线当l的斜率不为0，设直线当l的方程为x=ky+8，与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可；
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8），与抛物线方程联立，利用向量知识求解即可．

解答 （1）解：设抛物线方程为C：y²=2px（p＞0），
由其定义知|AF|=4=2+$\frac{p}{2}$，
所以p=4，y²=8x；
（2）证明：法一：设B、C两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
因为直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky+8，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ x=ky+8\end{array}\right.$得y²-8ky-64=0，y₁+y₂=8k，y₁y₂=-64，
因为$\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OC}=（{x_2}，{y_2}）$，
所以$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（k{y_1}+8）（k{y_2}+8）+{y_1}{y_2}$=（k²+1）y₁y₂+8ky（y₁+y₂）+64=0
所以OB⊥OC．
法二：①当l的斜率不存在时，l的方程为x=8，此时B（8，8），C（8，-8），
即$\overrightarrow{OB}=（8，8），\overrightarrow{OC}=（8，-8）$，有$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=64-64=0$，所以OB⊥OC．
②当l的斜率存在时，设l的方程为y=k（x-8），
方程组$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=8x\\ y=k（x-8）\end{array}\right.$得k²x²-（16k²+8）x-64k²=0，ky²-8y-64k=0，所以x₁x₂=64，y₁y₂=-64，
因为$\overrightarrow{OB}=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow{OC}=（{x_2}，{y_2}）$，所以$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=64-64=0$，
所以OB⊥OC，由①②得OB⊥OC．

点评 本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确设出直线方程是关键．