Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：组合几何体的面积、体积问题,平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
（II）利用线线平行证明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可证面面平行；
（III）把多面体分割成四棱锥A-BDEF和四棱锥C-BDEF，分别求出体积，再求和．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）证明：在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
（Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=

2

，四边形BDEF的面积S=3×2

2

=6

2

，
∴四棱锥A-BDEF的体积V₁=

1

3

×AO×S=4，
同理，四棱锥C-BDEF的体积V₂=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．

点评：本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．