题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
m
=（sinA，sinB-sinC），
n
=（a-
3
b，b+c），且
m
⊥
n
．
（1）求角C的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求a的取值范围．
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）由两向量的坐标，及两向量垂直时满足的关系列出关系式，利用余弦定理表示出cosC，将得出关系式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数表示出A+B的度数，用A表示出B，根据三角形ABC为锐角三角形求出A的范围，进而确定出sinA的范围，利用正弦定理表示出a，根据sinA的范围求出a的范围即可．
解答： 解：（1）∵
m
=（sinA，sinB-sinC），
n
=（a-
3
b，b+c），且
m
⊥
n
，
∴sinA（a-
3
b）+（sinB-sinC）（b+c）=0，
利用正弦定理化简得：a（a-
3
b）+（b+c）（b-c）=0，即a2+b2-c2=
3
ab，
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
3
2
，
∵C∈（0，π），
∴C=
π
6
；
（2）由（1）得A+B=
5π
6
，即B=
5π
6
-A，
∵△ABC为锐角三角形，
∴
0＜
5π
6
-A＜
π
2
0＜A＜
π
2
，
解得：
π
3
＜A＜
π
2
，
∴
3
2
＜sinA＜1，
∵c=1，sinC=
3
2
，
∴由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=
1
1
2
=2得：a=2sinA，
则a的范围为（
3
，2）．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）
A、1
B、
3
2
4
C、
2
6
+
2
4
D、
3
+1
2
解不等式：
（1）|x-1|＜1-2x
（2）|x-1|-|x+1|＞x．
已知集合A={x|2x2+x-1＞0}，B={x|（x-m）[x-（m+1）]＜0}．
（1）当m=0时，求A∩B；
（4）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
1，4，9，16…这些数可以用图1的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n个数为an+1，在图2的杨辉三角中，第n（n≥2）行是（a+b）n-1展开式的二项式系数
C
0
n-1
，
C
1
n-1
，…，
C
n-1
n-1
记杨辉三角的前n行所有数之和为Tn．
（Ⅰ）求an和Tn的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2时，比较an与Tn的大小，并加以证明．
已知函数f（x）=x3-ax2-3x，g（x）=-6x（a∈R）．
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，+∞）时是增函数，求实数a的取值范围．
已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
1
2
，右焦点到右顶点的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：mx+y+1=0与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
||成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
规定C
 
m
x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且C
 
0
x
=1这是组合数C
 
m
n
（n，m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）C
 
5
-15
的值；
（2）组合数的两个性质：C
 
m
n
=C
 
n-m
n
；C
 
m
n
+C
 
m-1
n
=C
 
m
n+1
是否都能推广到C
 
m
x
（x∈R，m∈N*）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给予证明，或不能则说明理由；
（3）已知组合数C
 
m
n
是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C
 
m
x
∈Z．
（1）求C
 
2
2
+C
 
2
3
+C
 
2
4
+…+C
 
2
10
；
（2）已知A
 
3
n
=C
 
4
n
，求n．

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