Question

4．设抛物线C：y²=4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|-|BF|=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 设出直线方程，并与抛物线方程联立，借助于求出点A，B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AF|-|BF|．

解答 解：y²=4x的焦点为F（1，0），
假设k存在，设AB方程为：y=k（x-1），
与抛物线y²=4x，联立得k²（x²-2x+1）=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠PBF=90°，
∴（x₁-1）（x₁+1）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=1，
∴x₁²+4x₁-1=0（x₁＞0），
∴x₁=-2+$\sqrt{5}$，
∵x₁x₂=1，∴x₂=2+$\sqrt{5}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+1）-（x₁+1）=4，
故答案选：B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．