Question

15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（${\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A． （${\sqrt{3}$，0）
• B． （${\root{3}{4}$，2]
• C． [${\root{3}{4}$，2）
• D． [${\root{3}{4}$，2]

Answer 1

分析 由f（x）=f（x+4），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．

解答 解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（${\frac{1}{2}$）^x-1，
∴若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，
则f（-x）=（${\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=（${\frac{1}{2}$）^-x-1=2^x-1=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，在区间（-2，6）要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，
则等价为函数f（x）与g（x）=log_a（x+2）有3个不同的交点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（2）＜f（2）}\\{g（6）≥f（6）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜3}\\{lo{g}_{a}8≥3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\root{3}{4}}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得${\root{3}{4}$＜a≤2，
故a的取值范围是（${\root{3}{4}$，2]，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．