题目内容
19．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an-a1=S1•Sn（n∈N*）．（1）试求a1之值，并确定数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$，n∈N*，试求{bn}前n项和Tn．
分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）a1≠0，2an-a1=S1•Sn（n∈N*），∴$2{a}_{1}-{a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a1=1，
∴Sn=2an-1，
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-（2an-1-1），化为：an=2an-1．
∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1．
∴an=2n-1（n∈N*）．
（2）bn=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴{bn}前n项和Tn=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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| C． | n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2 | D． | n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=（2n-1）2 |