Question

6．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC，CD．若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为3．
（1）证明：BC²=BD•BE
（2）求OA的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的三线合一，连接OC，可得∠ACO=90°，由圆的切割线定理即可得到；
（2）先由三角形相似的判定定理可知△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，再由切割线定理列出方程，求出OA的长．

解答 解：（1）证明：如图，连接OC
由OA=OB，CA=CB，
即有OC⊥AB．
则AB是⊙O的切线，
又BE是圆O的割线，
由切割线定理可得，
BC²=BD•BE；
（2）由DE为直径，可得∠ECD=90°，
由tan∠CED=$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
由∠B=∠B，∠BCD=∠BEC，
可得△BCD∽△BEC，
则$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
设BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

点评 本题考查圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及弦切角定理、切割线定理的综合运用，考查学生推理和计算能力，属于中档题．