Question

13．已知双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，实轴长为4，则该双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

Answer 1

分析 根据条件下求出a=2，然后讨论双曲线的焦点位置，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．

解答 解：∵双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{1}{2}$x，实轴长为4，
∴2a=4，则a=2，
∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
此时$\frac{b}{a}$=$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得b=1，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
此时$\frac{a}{b}$=$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$，解得b=4，
即双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．同时要讨论双曲线的焦点位置．