Question

5．如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x³（x＞0）和曲线y=$\sqrt{x}$围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（　　）

• A． $\frac{5}{12}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．

解答 解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S（A）=${∫}_{0}^{1}（\sqrt{x}-{x}^{3}）dx$=（$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{4}{x}^{4}$）${|}_{0}^{1}$=$\frac{5}{12}$．
所以P（A）=$\frac{5}{12}$．
故选：A．

点评 本题综合考查了几何概型，及定积分在求面积中的应用，是一道综合性比较强的题目．