Question

3．函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）=ln（e^x+6x+t）是“倍域函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{3}{4}-6ln\frac{3}{2}，2-6ln2）$
• B． （2-6ln2，+∞）
• C． $（-\frac{3}{4}-6ln\frac{3}{2}，6ln2-2）$
• D． （-∞，6ln2-2）

Answer 1

分析 由“倍域函数”定义知$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m，\;\;\\ f（n）=2n，\;\;\end{array}\right.$即方程f（x）=2x有两个不同实根，即方程e^x+6x+t=e^2x有两个不同实根．设函数g（x）=e^2x-e^x-6x-t（x∈R），求导数，确定函数的单调性，可得方程g（x）=0有两个不同实根的充要条件，即可得出结论．

解答 解：由“域倍函数”定义知$\left\{\begin{array}{l}f（m）=2m，\;\;\\ f（n）=2n，\;\;\end{array}\right.$即方程f（x）=2x有两个不同实根，即方程e^x+6x+t=e^2x有两个不同实根．
设函数g（x）=e^2x-e^x-6x-t（x∈R），∴g'（x）=2e^2x-e^x-6=（2e^x+3）（e^x-2）．
令g'（x）=0，解得x=ln2．
当x＜ln2时，g'（x）＜0，所以g（x）在（-∞，ln2）上是减函数；当x＞ln2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（ln2，+∞）上是增函数．
∴当x=ln2时，g（x）_min=4-2-6ln2-t，∴x∈R，g（x）∈[2-6ln2-t，+∞），
∴方程g（x）=0有两个不同实根的充要条件为2-6ln2-t＜0，所以t＞2-6ln2，
故选：B．

点评 本题考查函数的值域，考查导数知识的运用，难点在于构造函数，确定函数的单调性．