Question

8．对于序列A₀：a₀，a₁，a₂，…，a_n（n∈N^*），实施变换T得序列A₁：a₁+a₂，a₂+a₃，…，a_n-1+a_n，记作A₁=T（A₀）：对A₁继续实施变换T得序列A₂=T（A₁）=T（T（A₀）），记作A₂=T₂（A₀）；…；A_n-1=T_n-1（A₀）．最后得到的序列A_n-1只有一个数，记作S（A₀）．
（Ⅰ）若序列A₀为1，2，3，求S（A₀）；
（Ⅱ）若序列A₀为1，2，…，n，求S（A₀）；
（Ⅲ）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作A=B，若序列B为序列A₀：1，2，…，n的一个排列，请问：B=A₀是S（B）=S（A₀）的什么条件？请说明理由．

Answer 1

分析 （I）序列A₀为1，2，3，A₁：1+2，2+3，A₂：1+2+2+3，即可得出S（A₀）．
（II）n=1时，S（A₀）=1+2=3；n=2时，S（A₀）=1+2+2+3=1+2×2+3；n=3时，S（A₀）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，…；取n时，S（A₀）=${∁}_{n}^{0}$•1+${∁}_{n}^{1}$•2+${∁}_{n}^{2}$•3+…+${∁}_{n}^{n-1}$•n+${∁}_{n}^{n}$•（n+1）；利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．
（III）序列B为序列A₀：1，2，…，n的一个排列，B=A₀⇒S（B）=S（A₀）．而反之不成立．例如取序列B为：n，n-1，…，2，1．满足S（B）=S（A₀）．即可得出．

解答 解：（I）序列A₀为1，2，3，A₁：1+2，2+3，A₂：1+2+2+3，即8，∴S（A₀）=8．
（II）n=1时，S（A₀）=1+2=3．
n=2时，S（A₀）=1+2+2+3=1+2×2+3=8，
n=3时，S（A₀）=1+2+2+3+2+3+3+4=1+3×2+3×3+4，
…，
取n-1时，S（A₀）=${∁}_{n-1}^{0}$•1+${∁}_{n-1}^{1}$•2+${∁}_{n-1}^{2}$•3+…+${∁}_{n-1}^{n-2}$（n-1）+${∁}_{n-1}^{n-1}$•n，
取n时，S（A₀）=${∁}_{n}^{0}$•1+${∁}_{n}^{1}$•2+${∁}_{n}^{2}$•3+…+${∁}_{n}^{n-1}$•n+${∁}_{n}^{n}$•（n+1），
利用倒序相加可得：S（A₀）=$\frac{n+2}{2}$×2ⁿ=（n+2）•2^n-1．
由序列A₀为1，2，…，n，可得S（A₀）=（n+2）•2^n-1．
（III）序列B为序列A₀：1，2，…，n的一个排列，B=A₀⇒S（B）=S（A₀）．而反之不成立．
例如取序列B为：n，n-1，…，2，1．满足S（B）=S（A₀）．
因此B=A₀是S（B）=S（A₀）的充分不必要条件．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用、组合数的性质、数列的递推关系、充要条件的判定、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．