Question

16．已知数列a_n的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2（n∈{N^*}）$，则数列{2ⁿa_n}的前100项的和为5050．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1得出{2ⁿa_n}为等差数列，代入等差数列的求和公式计算即可．

解答 解：当n=1时，a₁=-a₁-1+2，∴a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-（$\frac{1}{2}$）^n-1+a_n-1+（$\frac{1}{2}$）^n-2，
∴2a_n=a_n-1+（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
又2a₁=1，
∴{2ⁿa_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴数列{2ⁿa_n}的前100项的和为1+2+3+…+100=$\frac{1+100}{2}×100$=5050．
故答案为：5050．

点评 本题考查了等差数列的判断，通项公式与求和公式，属于中档题．