Question

10．设椭圆C：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），直线l：y=x+1与椭圆C交于P，Q两点
（1）设坐标原点为O，当OP⊥OQ时，求m+n的值；
（2）对（1）中的m和n，当|PQ|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为（m+n）x²+2nx+n-1=0．由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，把根与系数的关系代入即可得出．
（2）|PQ|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{（m+n）^{2}}-\frac{4（n-1）}{m+n}]}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，把m+n=2代入整理为4n²-8n+3=0，解出即可得出．

解答 解：（1）依题意，设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{m{x}^{2}+n{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
化为（m+n）x²+2nx+n-1=0，∴x₁+x₂=$\frac{-2n}{m+n}$，x₁x₂=$\frac{n-1}{m+n}$．
由OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴$\frac{2（n-1）}{m+n}$-$\frac{2n}{m+n}$+1=0，化为m+n=2．
（2）|PQ|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{4{n}^{2}}{（m+n）^{2}}-\frac{4（n-1）}{m+n}]}$，
把m+n=2代入整理为4n²-8n+3=0，解得$n=\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$，或m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{3{y}^{2}}{2}$=1，或$\frac{3{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．