Question

6．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形．
（Ⅰ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN，推导出PM⊥AB，MN⊥AB，从而∠PMN为二面角P-AB-C的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的大小．
（Ⅱ）设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC，推导出MF⊥PN，CD⊥MF，从而MF⊥平面PCD，推导出四边形EMFG为平行四边形，从而EG⊥平面PCD，由此得到存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．

解答 解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN…（1分）
∵PA=PB，M是AB的中点
∴PM⊥AB
又在正方形ABCD中有MN⊥AB
∴∠PMN为二面角P-AB-C的平面角…（3分）
∵$PA=PB=\sqrt{5}$，AB=2，M是AB的中点
∴PM=2
同理可得PN=2，又MN=2
∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°
∴二面角P-AB-C为60°，…（5分）
（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下 …（6分）
如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC…（8分）
由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN
∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N
∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF
又CD∩PN=N
∴MF⊥平面PCD…（10分）
∵F，G分别为PN和PC的中点
∴FG=∥$\frac{1}{2}NC$
又E为线段MB的中点
∴FG=∥ME，故四边形EMFG为平行四边形…（11分）
∴EG∥MF
∴EG⊥平面PCD
又EG?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCD．…（12分）

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．