Question

4．已知AB为⊙O的直径，PH为切线，PE与⊙O交于C、E两点，且与直径AB交于点D，若PH=3$\sqrt{6}$，PC=3$\sqrt{2}$，DE=2$\sqrt{2}$，DB=2．
（1）求圆O的面积；
（2）试求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）利用切割线定理求出DC，根据相交弦的定理求出半径，即可求圆O的面积；
（2）在△BDE中，根据余弦定理求线段BE的长．

解答 解：（1）PH为⊙O切线，PE为割线，可知PH²=PC•PE，
∴${（3\sqrt{6}）^2}=（3\sqrt{2}）•（3\sqrt{2}+DC+2\sqrt{2}）$，可知$DC=4\sqrt{2}$，
根据相交弦的定理可知：CD•DE=AD•DB，
设圆的半径为R，可知$（2R-2）•2=4\sqrt{2}•2\sqrt{2}$，
∴R=5，S=πR²=25π．
（2）设BE=x，连接AE，则△AEB为直角三角形，且$cos∠ABE=\frac{x}{10}$，
在△BDE中，根据余弦定理可得$cos∠DBE=\frac{{{2^2}+{x^2}-8}}{2•2•x}$，可知$\frac{{{2^2}+{x^2}-8}}{2•2•x}=\frac{x}{10}$
可知${x^2}=\frac{20}{3}，x=\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$，故$BE=\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$．

点评 本题考查切割线定理、相交弦定理，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．