Question

20．已知函数f（x）=$\frac{{{2^{x+1}}+1}}{{{2^x}+1}}$-xcosx（-π≤x≤π）的最大值M与最小值m的关系是（　　）

• A． M+m=4
• B． M+m=3
• C． M-m=4
• D． M-m=3

Answer 1

分析 先将函数f（x）变形，再设g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，由函数的奇偶性的定义，可得g（x）为奇函数，则g（x）的最值互为相反数，即可得到所求M，m的关系．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{{2^{x+1}}+1}}{{{2^x}+1}}$-xcosx=2-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-xcosx
=$\frac{3}{2}$+$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{2（{2}^{x}+1）}$-xcosx，
由g（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{2（{2}^{-x}+1）}$+xcos（-x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2（1+{2}^{x}）}$+xcosx
=-g（x），
则g（x）是奇函数，
设g（x）在[-π，π]的最大值为A与最小值为a，
则A+a=0，
即有M=$\frac{3}{2}$+A，m=$\frac{3}{2}$+a，
则M+m=3+A+a=3．
故选：B．

点评 本题考查了函数的最值的求法，注意运用构造法，考查奇函数的性质，以及运算能力，是一道中档题．