Question

3．如图随时，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，OC⊥AD．过点B作⊙O的切线PB交AD的延长线于点P，连接BC交AD于点E．
（1）求证：PE²=PD•PA；
（2）若AB=PB，求△CDE与△ABE面积之比．

Answer 1

分析 （1）先证明：PB=PE，再利用切割线定理证明PE²=PD•PA；
（2）由余弦定理可得CD²=（2-$\sqrt{2}$）OC²，利用△CDE∽△ABE，求△CDE与△ABE面积之比．

解答 （1）证明：∵过点B作⊙O的切线PB交AD的延长线于点P，
∴∠OBP=90°，
∴∠OBC+∠CBP=90°．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵OC⊥AD，
∴∠OCB+∠CEA=90°，
∴∠BEP=∠CEA=∠CBP，
∴PB=PE，
∵PB²=PD•PA；，
∴PE²=PD•PA；
（2）解：连接OD，
∵AB=PB，BD⊥PA，
∴D为PA的中点，
∵O为AB的中点，
OD∥PB，
∵∠OBP=90°，
∴∠AOD=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠COD=45°．
由余弦定理可得CD²=（2-$\sqrt{2}$）OC²，
∵△CDE∽△ABE，
∴△CDE与△ABE面积之比=CD²：AB²=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．