Question

已知二次函数f（x）的最大值为2，且f（1）=f（3）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：综合题

分析：求二次函数的解析式常用待定系数法，由于已知f（1）=f（3）=0，因此设两根式比较好；二次函数在某一区间上单调，只需要二次函数的对称轴在区间左侧或右侧．

解答： 解：（1）∵f（1）=f（3）=0，∴设f（x）=a（x-1）（x-3），函数f（x）的对称轴为x=2，
   函数f（x）在x=2上取得最大值2，
∴f（2）=-a=2，解得a=-2，
  所以函数的解析式为f（x）=-2x²+8x-6；
 （2）要使函数f（x）在区间[m，m+1]上单调，则需m≥2或m+1≤2，即m≥2或m≤1，
故当函数f（x）在区间[m，m+1]上单调时，m的取值范围为（-∞，1]或[2，+∞）．

点评：本题考查了用待定系法求二次函数解析式的方法，关键是选择适当的形式；研究二次函数的单调性主要是研究对称轴与区间的关系．