Question

在数列{a_n}中，前n项和为S_n，且Sn=

n(n+1)

2

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

an

2n

，数列{b_n}前n项和为T_n，比较T_n与2的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,不等式比较大小,数列的函数特性

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n，经验证，a₁=1满足上式，于是可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意知，b_n=

an

2n

=

n

2n

，利用错位相减法即可求得数列{b_n}前n项和为T_n，从而可与2比较大小．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，
经验证，a₁=1满足上式．
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n．（6分）
（Ⅱ）∵b_n=

an

2n

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
则

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
两式相减，得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

＜2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查错位相减法求和，考查不等式比较大小，属于中档题．