Question

已知圆C的圆心为（2，-1）且该圆被直线l：x-y-1=0截得的弦长为2

2

，求该圆的方程及过弦的两端点且面积最小的圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：求出圆心C（2，-1）到直线l：x-y-1=0的距离，可得圆的半径，从而可得圆的方程，求出弦的两端点坐标，可得面积最小的圆的方程

解答： 解：由题意，圆心C（2，-1）到直线l：x-y-1=0的距离为

|2+1-1|

2

=

2

，
∵弦长为2

2

，∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=4．
由

x-y-1=0 (x-2)2+(y+1)2=4

，可得

x=0 y=-1

或

x=2 y=1

，
∴弦的两端点为A（0，-1），B（2，1），
∴AB的中点为（1，0），|AB|=2

2

，
∴过弦的两端点且面积最小的圆的方程为（x-1）²+y²=2．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．