题目内容

在△ABC中，DEF为BC、AC、AB上的点，
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
），
DE
•
AD
=
DE
•
CD
，
DF
=μ（
BD
•sinB
|
BD
|
+
AD
•cosB
|
AB
|
），则
|
BC
|
|
EF
|
=
 
．
考点：向量加减混合运算及其几何意义
专题：综合题,平面向量及应用
分析：由题意得出
BC
⊥
AD
，
DE
⊥
AC
，
BA
⊥
DF
，得A，E，D，F四点共圆，证明△AEF∽△ABC，求出
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
的值，即得结果．
解答： 解：如图所示，
∵
.
AD
=λ（
AB
|
AB
|•cosB
+
AC
|
AC
|•cosC
），
∴
BC
•
AD
=λ[
|
AB
|•|
BC
|•(-cosB)
|
AB
|•cosB
+
|
AC
|•|
BC
|•cosC
|
AC
|•cosC
]=0，
∴
BC
⊥
AD
，即BC⊥AD；
∵
DE
•
AD
=
DE
•
CD
，
∴
DE
•（
AD
-
CD
）=0，
∴
DE
•（
DC
-
DA
）=0，
即
DE
•
AC
=0，
∴
DE
⊥
AC
，即DE⊥CA；
又∵
DF
=μ（
BD
•sinB
|
BD
|
+
AD
•cosB
|
AD
|
），
∴
BA
•
DF
=μ[
|
BD
|•|
BA
|•cosB•sinB
|
BD
|
+
|
AD
|•|
BA
|•(-sinB)•cosB
|
AD
|
]=0，
∴
BA
⊥
DF
，即BA⊥DF；
连接EF，∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AEF=∠ADF；
又∵AD⊥BC，∴∠B=∠ADF，
∴∠B=∠AEF，
∴△AEF∽△ABC；
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
AF
AC
，
∵
AF
=
2
3
AB
，
AE
=
3
4
AC
，
∴
3
4
AC
AB
=
2
3
AB
AC
，即AC=
2
2
3
AB；
∴
EF
BC
=
AE
AB
=
3
4
AC
AB
=
3
4
×
2
2
3
•AB
AB
=
2
2
，
∴
|
BC
|
|
EF
|
=
2
．
故答案为：
2
．
点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、四点共圆的判定定理、相似三角形的判定与性质、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，是难题．
练习册系列答案
相关题目
下列函数中，与函数y=x相同的函数是（　　）
A、y=
x2
x
B、y=(
x3
)
2
3
C、y=lg10x
D、y=2log2x
已知向量
a
=（1，-2），
b
=（-
1
2
，y），若
a
∥
b
，则y=（　　）
A、1B、-1C、2D、-2
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．
（1）若E为A1C1的中点，求证：DE∥平面ABB1A1；
（2）若E为A1C1上一点，且A1B∥平面B1DE，求
A1E
EC1
的值．
若函数y=acosx+b（a，b为常数）的最大值为1，最小值为-7，求函数y=3+absinx的最值和最小正周期．
如图：AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=14，则△ABC的周长为
 
．
利用定义判断函数求y=
3
x-2
在区间[3，6]上的单调性，并求该函数在[3，6]上的最大值和最小值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点M(1，
2
2
)，其离心率为
2
2
，经过点(0，
2
)，斜率为k的直线l与椭圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，则是否存在常数k，使得向量
OP
+
OQ
与
AB
共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，则
y-3
x-1
的取值范围是
 
．

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