Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点M(1，

2

2

)，其离心率为

2

2

，经过点(0，

2

)，斜率为k的直线l与椭圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A、B两点，则是否存在常数k，使得向量

OP

+

OQ

与

AB

共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,向量与圆锥曲线,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意，e=

c

a

=

2

2

，a²=b²+c²，并将点M代入可求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意，联立方程化简可得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，则△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，从而求k的取值范围；
（Ⅲ）假设存在，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

AB

=（-

2

，1）；由向量

OP

+

OQ

与

AB

共线可得x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），利用韦达定理可解得k=

2

2

，结合（Ⅱ）知不存在．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，e=

c

a

=

2

2

，
又∵a²=b²+c²，
∴a²=2b²，
∴椭圆C的方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
将点M(1，

2

2

)代入，得b²=1，a²=2，
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知条件，直线l的方程为y=kx+

2

，
代入椭圆方程得

x2

2

+(kx+

2

)2=1．
整理得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0①，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
△=8k2-4(

1

2

+k2)=4k2-2＞0，
解得，k＜-

2

2

或k＞

2

2

．
即k的取值范围为(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，y₁+y₂），
由方程①得，x₁+x₂=-

4 2 k

1+2k2

②，
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

③，
而A（

2

，0），B（0，1），

AB

=（-

2

，1）；
又∵

OP

+

OQ

与

AB

共线，
∴x₁+x₂=-

2

（y₁+y₂），
将②③代入上式解得，k=

2

2

．
由（Ⅱ）知，k＜-

2

2

或k＞

2

2

，
故没有符合题意的常数k．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，同时考查了椭圆与直线的综合问题，常利用韦达定理简化运算，同时考查了向量的应用，属于难题．