Question

4．设AB是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的长轴，若把AB给100等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P₁、P₂、…、P₉₉，F₁为椭圆的左焦点，则|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉₉|+|F₁B|的值是101a．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义便可以得到$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=2a•99$，而由题意可知P₁、P₂、…、P₉₉关于y轴对称分布，从而便可得到$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|）=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）$，而|F₁A|+|F₁B|=2a，这样即可得出|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉₉|+|F₁B|的值．

解答 解：由椭圆的定义知|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a（i=1，2，…，99）；
∴$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=2a•99$；
由题意知P₁，P₂，…，P₉₉关于y轴成对称分布；
∴$\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|）=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{99}（|{F}_{1}{P}_{i}|+|{F}_{2}{P}_{i}|）=99a$
又∵|F₁A|+|F₁B|=2a；
故所求的值为101a．
故答案为：101a．

点评 考查椭圆的定义，椭圆的两焦点关于y轴对称，以及椭圆的标准方程，椭圆的长轴的概念，清楚把线段100等分的概念，以及椭圆的对称性．