题目内容
12．
已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$离心率为$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线l1：$y=x+\sqrt{2}$相切．（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点O的直线l2与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．
分析 （1）由直线与圆相切，求出b=1，由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得 $c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由题意可知，直线l2的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式，结合已知条件，能求出△OPQ面积的取值范围．
解答 解：（1）由直线l1：$x-y+\sqrt{2}=0$与圆x2+y2=b2相切，
得：$d=\frac{{|0+0+\sqrt{2}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=1=b$，…（2分）
由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得 $c=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，…（3分）
又a2=b2+c2，∴${a^2}={1^2}+\frac{3}{4}{a^2}$，∴a2=4，…（4分）
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（5分）
（2）由题意可知，直线l2的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为
y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，…（6分）
则△=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）=16（4k2-m2+1）＞0，
且x1+x2=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．…（7分）
故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k2，…（8分）
即$\frac{-8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m2=0，又m≠0，所以k2=$\frac{1}{4}$，即k=±$\frac{1}{2}$．…（9分）
由△＞0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0＜m2＜2且m2≠1．…（10分）
S△OPQ=$\frac{1}{2}$|x1-x2||m|=$\sqrt{{m}^{2}（2-{m}^{2}）}$=$\sqrt{1-{{（{m^2}-1）}^2}}$，…（11分）
∴S△OPQ的取值范围为（0，1）．…（12分）
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、等比数列性质、弦长公式的合理运用．
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的一个短轴端点是（0，2$\sqrt{3}$）．
如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，直线F是右准线且准线方程为x=4．A、B分别是其左右顶点，P是椭圆上异于左右顶点的任意一点．直线PA、PB与椭圆的右准线分别交于E、F两点，连接AF与椭圆交于点M．| A． | （0，$\frac{1}{3}$） | B． | （0，$\frac{1}{2}$] | C． | （$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$] | D． | [$\frac{1}{3}$，1） |