Question

9．如图所示，点F₁（-1，0），F₂（1，0），动点M到点F₂的距离是$2\sqrt{2}$，线段MF₁的中垂线交MF₂于点P．
（Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接PF₁，运用垂直平分线定理和椭圆的定义，可得P的轨迹为椭圆，方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的方法，即可得到所求定点．

解答 解：（Ⅰ）连接PF₁，由$|M{F_2}|=2\sqrt{2}$，
∴$|PM|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}$，
又∵|PM|=|PF₁|，∴$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2\sqrt{2}＞|{F_1}{F_2}|=2$，
由椭圆的定义可知2a=2$\sqrt{2}$，c=1，b=1．
即有动点P的轨迹G的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）证明：依题意$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去y，得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
又${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$
依题意得，${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，
即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化简得：2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+（m-k）（-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$）-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直线l的方程为y=k（x-2），
因此直线l经过定点，该定点坐标为（2，0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用垂直平分线定理和椭圆的定义，考查直线恒过定点的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．