Question

19．已知△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=S$．
（ I）求tan2A的值；
（ II）若cosC=$\frac{3}{5}$，且|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|=2，求△ABC的面积为S．

Answer 1

分析 （ I）根据$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}bcsinA$即可求解tanA的值，在利用二倍角公式求解tan2A的值；
（ II）根据|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|=2，可得$|\overrightarrow{BC}|=2$，利用正弦定理，求解A，b，可求△ABC的面积为S．

解答 解：（ I）△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=S$．
即$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}bcsinA$
可得：$bccosA=\frac{1}{2}bcsinA$
解得：tanA=2
那么：tan2A=$\frac{2tanA}{1-ta{n}^{2}A}$=$-\frac{4}{3}$
（ II）由|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|=2，
∴$|\overrightarrow{BC}|=2$，即a=2．
由（ I）可知tanA=2，即sinA=2cosA．
根据sin²A+cos²A=1，
解得：$sinA=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosA=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵cosC=$\frac{3}{5}$，
∴sinC=$\frac{4}{5}$
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$
可得：$b=\frac{asinB}{sinA}=2$，
故得△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$．

点评 本题考查向量的运算和正弦定理以及三角形的面积公式的运用．属于中档题．