Question

命题p：“?x∈(0，有9x+

a2

x

≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“?x₀∈R，x₀²+2ax₀+2-a=0，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，分别判断两个命题为真命题时，a的取值范围，然后，结合“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假，分情况进行讨论完成结果．

解答： 解：若p为真命题，则
（9x+

a2

x

）_min≥7a+1，
又∵9x+

a2

x

≥2

9x• a2 x

=6|a|=-6a，
∴-6a≥7a+1，
∴a≤-

1

13

，
若q 为真命题，则方程x²+2ax+2-a=0有实根，
∴△=4a²-4（2-a）≥0，
∴a≤-2或a≥1，
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，
则命题p和命题q一真一假，
∴当p真q假时，则

a≤- 1 13 -2＜a＜1

，
∴-2＜a≤-

1

13

，
当p假q真时，则

a＞- 1 13 a≤-2或a≥1

，
∴a≥1，
综上，符合条件的a的取值范围为（-2，-

1

13

]∪[1，+∞）．

点评：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题，解题关键是准确判断符合命题的真假情形．