Question

9．已知函数f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-$\frac{1}{2}$|，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）解不等式f（x）≤x+4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值不等式的意义求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）求出f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）由绝对值不等式的性质得：
f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|（x-$\frac{5}{2}$）-（x-$\frac{1}{2}$）|=2，
∴f（x）的最小值是2；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-$\frac{1}{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+3，x＜\frac{1}{2}}\\{2，\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\\{2x-3，x＞\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
①x＜$\frac{1}{2}$时，由-2x+3≤x+4，解得：x≥-$\frac{1}{3}$，此时-$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，
②$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$时，由2≤x+4，解得：x≥-2，此时$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{5}{2}$，
③x＞$\frac{5}{2}$时，由2x-3≤x+4，解得：x≤7，此时$\frac{5}{2}$＜x≤7，
综上，不等式的解集是{x|-$\frac{1}{3}$≤x≤7}．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查分类讨论思想，是一道中档题．