Question

4．已知函数f（x）=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最值；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的最值求出f（x）的最值；
（2）由正弦函数的增区间和整体思想求出f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
当$sin（2x+\frac{π}{3}）=1$ 时，f（x）取到最大值是2，
当$sin（2x+\frac{π}{3}）=-1$ 时，f（x）取到最小值是-2；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题考查了正弦函数的增区间，以及二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，考查化简、变形能力．