Question

1．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，若平面上点C满足|2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{2}$，则|$\overrightarrow{OC}$|的取值范围是$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 根据条件便可得出∠BAO=120°，然后可建立一个平面直角坐标系，并在x轴的正半轴确定点B，进而确定点A，并可求出点A，B的坐标，可设C（x，y），从而求出向量$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}$的坐标，这样即可得出$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=2$，这样该方程便表示以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆，并画出图形，由图形即可求出$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围．

解答 解：根据条件，$|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠BAO=2cos∠BAO=-1$；
∴$cos∠BAO=-\frac{1}{2}$；
∴∠BAO=120°；
建立一平面直角坐标系，O为坐标原点，在x轴正半轴确定点B，确定点A，如图所示：

则$A（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B（2，0）；
设C（x，y），∴$2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{CB}=（-1，\sqrt{3}）+（2-x，-y）$=$（1-x，\sqrt{3}-y）$；
∴$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=2$；
∴（x，y）在以$（1，\sqrt{3}）$为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆上，如图所示：

设圆心O′，则OO′=2；
圆上的点到O的最小距离为$2-\sqrt{2}$，最大距离$2+\sqrt{2}$，且$|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$；
∴$|\overrightarrow{OC}|$的取值范围为$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．
故答案为：$[2-\sqrt{2}，2+\sqrt{2}]$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，向量数量积的计算公式，根据点的坐标可求向量坐标，向量坐标的加法和数乘运算，圆的标准方程，数形结合解题的方法．