Question

20．已知cosθ=$\frac{1}{2}$，θ为锐角．
（1）求cos2θ的值；
（2）求tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值．

Answer 1

分析 （1）由cosθ=$\frac{1}{2}$和二倍角余弦公式的变形，直接求出cos2θ的值；
（2）由θ的范围和平方关系求出sinθ，由商的关系求出tanθ，利用两角差的正切公式求出tan（$\frac{π}{4}$-θ）的值．

解答 解：（1）因为cosθ=$\frac{1}{2}$，所以cos2θ=2cos²θ-1=$2×（\frac{1}{2}）^{2}-1$=$-\frac{1}{2}$；
（2）∵cosθ=$\frac{1}{2}$，θ为锐角，
∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\sqrt{3}$，
∴tan（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$=2$-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二倍角余弦公式的变形，两角差的正切公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，注意角的范围．