Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：PB⊥AC；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四棱锥P-ABCD各顶点的距离都相等？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据底面ABCD为梯形，推断出AD∥BC，进而利用线面平行的判定定理推断出 BC∥平面PAD．
（Ⅱ）设BC的中点为O，连结AO，在梯形ABCD中，根据AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，推断出△ABO为等边三角形，又 AD∥BC，推断出四边形OCDA为菱形．由∠AOC=120°，OA=OC，求得∠OAC，进而求得∠BAC=90°，判断出AB⊥AC，根据平面PAB⊥平面ABCD，AB是交线，推断出AC⊥平面PAB，进而根据线面垂直的性质推断出PB⊥AC．
（Ⅲ）PA⊥PB，PB⊥AC根据线面垂直的判定定理推断出PB⊥平面PAC进而可知PB⊥PC，推断出△PBC为直角三角形，连结BD，证明出△ABC≌△DCB，推断出△DBC为直角三角形，推断出点O是三个直角三角形：△PBC、△ABC和△DBC的共同的斜边BC的中点，进而可知 OA=OB=OC=OD=OP，进而可知存在点Q（即点O）到四棱锥P-ABCD各顶点的距离都相等．

解答： （Ⅰ）证明：底面ABCD为梯形，AD∥BC，
又   BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以 BC∥平面PAD．
（Ⅱ）证明：设BC的中点为O，连结AO，在梯形ABCD中，
因为 AB=AD=

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BC，∠ABC=60°，
所以△ABO为等边三角形，OA=1，
又 AD∥BC，
所以 四边形OCDA为菱形．
因为∠AOC=120°，OA=OC，
所以∠OAC=30°，
所以∠BAC=90°，AB⊥AC，
又平面PAB⊥平面ABCD，AB是交线，
所以 AC⊥平面PAB，
所以 AC⊥PB，即PB⊥AC．
（Ⅲ）解：因为 PA⊥PB，PB⊥AC，所以PB⊥平面PAC．
所以，PB⊥PC，
所以△PBC为直角三角形，∠BPC=90°．
连结BD，由（Ⅱ）知∠BCD=60°，
所以△ABC≌△DCB，
所以△DBC为直角三角形，∠BDC=90°．
所以点O是三个直角三角形：△PBC、△ABC和△DBC的共同的斜边BC的中点，
所以 OA=OB=OC=OD=OP，
所以存在点Q（即点O）到四棱锥P-ABCD各顶点的距离都相等．

点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理及性质．考查了学生对基础知识的综合运用．