Question

过x轴上动点A（a，0），引抛物线y=x²+3的两条切线AP、AQ，切点分别为P、Q．
（Ⅰ）若a=-1，求直线PQ的方程；
（Ⅱ）探究直线PQ是否经过定点，若有，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的一般式方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用函数的导数，通过切线的斜率相等，求出P，Q的坐标，然后求直线PQ的方程；
（Ⅱ）（先猜后证）猜测直线PQ过定点（0，6），证明如下：
过A（a，0）的直线方程为y-0=k（x-a），联立直线与抛物线方程，通过韦达定理推出PQ的方程，然后说明直线PQ过定点（0，6）．

解答： 解：（Ⅰ）∵y'=（x²+3）′=2x------（1分）
不妨设Q(x1，x12+3)，P(x2，x22+3)，x₁＜x₂
∴kAQ=

x12+3

x1+1

=2x1，kAP=

x22+3

x2+1

=2x2-------（3分）
x12+3=2x12+2x1⇒x12+2x1-3=0⇒x₁=1，x₂=-3，
∴P（1，4），Q（-3，12），
由两点式可得?_PQ：2x+y-6=0-----------（6分）
（Ⅱ）（先猜后证）令a=0，依（Ⅰ）步骤可求得直线PQ：y=6
联立

y=6 2x+y-6=0

得交点（0，6），故猜测直线PQ过定点（0，6）-----（7分）
证明如下：
过A（a，0）的直线方程为y-0=k（x-a）

y=kx-ka y=x2+3

⇒x²+3=kx-ka，
x²-kx+ka+3=0△=k²-4（ka+3）=0，k²-4ka-12=0
∴k₁k₂=-12，即2x₁•2x₂=-12，
∴x₁x₂=-3------（9分）
设Q(x1，x12+3)，P(x2，x22+3)
?PQ：y-x12-3=

x22+3-x12-3

x2-x1

(x-x1)⇒y-x12-3=(x2+x1)(x-x1)
令x=0，y=-x2x1-x12+x12+3=3-x1x2=3+3=6，
即直线PQ过定点（0，6）----（12分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目．