Question

如图，在Rt△A′BC中，A′B=BC=2，D，E分别是A′B，A′C的中点，将△A′DE沿线段DE折起到△ADE，使平面ADE⊥平面DBCE．
（Ⅰ）若P，Q分别为AB，EC的中点，证明PQ∥平面AED．
（Ⅱ）若M为DE的中点，求三棱锥E-PMC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）要证明PQ∥平面AED，过PQ构造一个平面与平面AED平行，取BD中点N，连接PN，NQ，得到平面平面PNQ∥平面ADE；
（Ⅱ）把求三棱锥E-PMC的体积转化成求三棱锥P-MEC的体积．

解答： 解：（Ⅰ）证明：如图取BD中点N，连接PN，NQ，
显然PN，NQ分别是△ABD，梯形BCED的中位线，
于是PN∥AD，NQ∥DE，PN?平面ADE，
∴PN∥平面ADE，NQ∥平面ADE，
又PN∩NQ=N，
因此平面PNQ∥平面ADE，
∴PQ∥平面AED．
（Ⅱ）易知DE∥BC，故∠ADE=∠A′DE=∠A′BC=90°，即AD⊥DE，
又因为平面ADE⊥平面DBCE，AD?平面ADE，
所以AD⊥平面DBCE
又PN∥AD，故PN即为三棱锥P-MEC的高，
由题意，易求得PN=

1

2

AD=

1

2

，BD=1，ME=

1

2

，
于是V_E-PMC=V_P-EMC=

1

3

×PN×

1

2

×ME×BD=

1

24

．

点评：本题考查了线面位置关系的证明及几何体的体积，证明线面平行可以转化成证明面面平行；求三棱锥的体积关键是通过转换顶点转化成易求底面积和高的三棱锥的体积问题．